100kitov.ru

Интересные факты — события, биографии людей, психология
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Почему у привычного футбольного мяча шашечки двух типов: пятиугольные и шестиугольные?

Почему у привычного футбольного мяча шашечки двух типов: пятиугольные и шестиугольные?

Почему у привычного футбольного мяча шашечки двух типов: пятиугольные и шестиугольные?

Интересно

Футбол является самым популярным спортом на планете. Он привлекает своей зрелищностью миллионы людей, которые с удовольствием смотрят матчи любимых команд. И футбол не был бы таким захватывающим, если бы не используемые мячи. Снаряды после удара способны летать по замысловатым траекториям и оказываться в сетке ворот после неожиданных отскоков.

Сейчас используется несколько методов изготовления мяча, и основной долгое время оставалась та, где используются шашечки двух типов: пятиугольные и шестиугольные. Но почему выбрали именно такую форму, и чем она хороша?

Конструкция современных мячей

Для начала следует разобраться, из чего состоит снаряд, используемый в данном виде спорта. При изготовлении мячей производители стараются добиться максимальной прочности, чтобы воздух не выходил изнутри. Но параллельно приходится думать о жесткости, форме, размерах и других параметрах.

Мяч состоит из трех частей:

  • камера – чехол из эластичного материала, куда закачивается воздух;
  • подкладка – многослойная оболочка, куда помещается камера, отвечает за прочность и прыгучесть снаряда;
  • покрышка – внешняя оболочка мяча, которая задает его форму.

История футбольного мяча

Данная игра в привычном для современных людей виде начала формироваться в первой половине XIX века. Уже тогда люди пинали мяч ногами, стараясь поразить ворота соперника. Но не существовало единых правил, контролирующих игровой процесс. В каждом матче стороны сами договаривались о его особенностях. Используемый в то время мяч изготавливали из каучука.

Футбольная ассоциация Англии в 1872 году ввела стандарты размера и массы мяча, к тому времени его уже изготавливали из резины. Было решено делать снаряды длиной окружности примерно 70 см и массой 400 гр.

В основе мяча устанавливалась надувная камера, куда закачивался воздух. Ее вставляли внутрь плотно сшитого чехла через специальное отверстие, которое закрывалось шнуровками. Чехол сшивался из плотных продолговатых полосок, из-за чего отдаленно напоминал современные волейбольные мячи.

Футбольные мячи 1930 года

Футбольные мячи 1930 года

Такой принцип конструкции использовался до 1950 года, пока одна из компаний не выпустила футбольный мяч с покрышкой, состоящей из соединенных между собой пяти и шестиугольников. Это позволяло добиться более округлой формы, близкой к сфере, и делало полет мяча более естественным.

Изначально внешняя покрышка изготавливалась из кожи, но этот материал постепенно впитывал влагу, из-за чего вес снаряда мог существенно меняться при игре в дождь. Из-за этого компании-производители перешли на полиуретан и поливинилхлорид. Оболочки из них получаются жесткими и не впитывают жидкости.

В 2004 году другая компания презентовала новый мяч, который стал первым снарядом, изготовленным с помощью термального соединения. Это позволяло создавать покрышку из частей любой формы, соединяя их в идеальный круг. Сейчас данный метод создания мяча широко используется во всем мире, поскольку позволяет сделать уникальную модель, обладающую определенными свойствами.

Однако несмотря на популяризацию термального соединения, принцип создания мяча с помощью пяти и шестиугольников также пользуется большой популярностью.

Почему у футбольного мяча пятиугольные и шестиугольные шашечки?

Данные фигуры используют для того, чтобы создать снаряд, по форме максимально похожий на сферу. Мяч состоит из 20 шестиугольников и 12 пятиугольников, которые соединены определенным образом, образуя икосаэдр.

В геометрии данная фигура напоминает круг, но каждая ее грань является плоской. Когда же внутрь помещается камера и накачивается воздухом, грани загибаются от центра к краям, вместе образуя шар.

Сравнение усечённого икосаэдра (слева) с футбольным мячом

Сравнение усечённого икосаэдра (слева) с футбольным мячом

Почему футбольные мячи чёрно-белые?

Поскольку технология начала применяться в эпоху черно-белых телевизоров, было решено шестиугольники делать белыми, а пятиугольники – черными. Так мяч был лучше заметен на экране.

Читайте так же:
Топ-5 пород собак для охраны: список, описание, фото и видео

Короткий ответ

Футбольный мяч состоит из пятиугольников и шестиугольников, потому что сшитые в определенном порядке эти элементы образуют икосаэдр. Данная геометрическая фигура напоминает шар с плоскими гранями. При накачке воздухом они надуваются, образуя сферу.

Если Вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Математика футбольных мячей

Почти 50 лет назад, к чемпионату Европы по футболу 1968 года, компания Adidas разработала новый футбольный мяч Telstar. Он получился настолько удачным, что его вид и покрой можно считать классическими: это 20 шестиугольников и 12 пятиугольников, сшитых или склеенных по сторонам (далее будем называть стороны многоугольников ребрами) так, что в каждой вершине сходится по три ребра. Поверхность такого футбольного мяча очень близка к поверхности шара (сфере).

Теперь представим, что есть много шестиугольников и пятиугольников, из которых удалось склеить похожий на сферу многогранник по тем же принципам: приклеивая ребра к ребрам, чтобы в каждой вершине сходились ровно три ребра. Оказывается, сколько бы ни было использовано шестиугольников, в нем будет ровно 12 пятиугольников. Докажите это!

Подсказка 1

Вам поможет знаменитая формула Эйлера: если на плоскости или на сфере нарисован граф с v вершинами, r ребрами и γ гранями, то выполнено равенство vr + γ = 2. Гранью графа называется часть плоскости, ограниченная ребрами, растягивая, но не разрывая которые можно сделать круг.

Подсказка 2

Для начала, конечно, нужно понять, как футбольный мяч связан с графом. Действительно, давайте считать, что пятиугольники и шестиугольники — это грани графа, их стороны — ребра графа, а вершины — вершины графа. Тогда мы получаем граф, нарисованный на поверхности сферы. Предположим, что мы взяли n шестиугольников и m пятиугольников. Остается понять, какие ограничения на число m ставит формула Эйлера.

Решение

Итак, допустим, что мы взяли n шестиугольников и m пятиугольников. Посчитаем, сколько будет вершин, ребер и граней в соответствующем графе. Каждый из n шестиугольников дает по шесть вершин, а каждый из m пятиугольников — по пять, значит всего будет 6n + 5m вершин. Однако заметим, что каждую из этих вершин мы посчитали трижды, потому что склеивали по три многоугольника в каждой вершине. Итого в графе v = (6n + 5m)/3 вершин. Аналогично получаем, что r = (6n + 5m)/2. Очевидно, что количество граней просто равно количеству многоугольников: γ = m + n.

Теперь запишем формулу Эйлера:

То есть, действительно, если пытаться склеить сферический многогранник так, как описано в условии, то при любом числе шестиугольников потребуется ровно 12 пятиугольников. И это абсолютно строгое доказательство — никакой магии.

Послесловие

Будем далее называть фуллеренами выпуклые многогранники, которые удовлетворяют свойствам из условия: в каждой вершине сходится по три ребра, а гранями являются только пятиугольники и шестиугольники (не обязательно правильные). Вообще, фуллерены — это одна из аллотропных форм углерода: сферические молекулы из атомов углерода, каждый атом в которых принадлежит ровно трем углеродным кольцам, состоящим из 5 или 6 атомов. То есть такое название наших многогранников вполне оправданно.

Первый из открытых фуллеренов, С60, содержал 60 атомов углерода. Он был синтезирован Р. Кёрлом, Г. Крото и Р. Смолли в 1985 году, причем нельзя сказать, что они сделали это целенаправленно: химики облучали твердые графитовые образцы лазером и анализировали состав конденсированных паров графита, в которых при помощи масс-спектрометрии и были обнаружены кластеры из 60 и 70 атомов углерода. Позже удалось подтвердить, что это действительно С60 (и другой фуллерен — С70, состоящий из 70 атомов). За это в 1996 году им была присуждена Нобелевская премия по химии.

Читайте так же:
Открыто животное, способное регенерировать все свои органы

В свою очередь, фуллеренами эти молекулы были названы в честь американского архитектора, дизайнера и изобретателя Ричарда Бакминстера Фуллера, который запатентовал конструкцию куполов для покрытия больших площадей с опорами только на границе (см. послесловие к задаче «Карандаши и нитки»).

Фуллерены встречаются в природе, попадаются в космосе, имеют многочисленные приложения в биологии, медицине и нанотехнологиях и неоднократно становились героями новостей на нашем сайте (см. подборку материалов ниже).

У многогранника, имеющего форму футбольного мяча и с которого началась эта задача, тоже 60 вершин (это нетрудно проверить, зная формулу Эйлера!) и по форме он почти неотличим от фуллерена С60. Разница в том, что у фуллерена разные «ребра» — длины связей между атомами углерода: общая сторона двух шестиугольников имеет длину 1,39 Å, а общая сторона шести- и пятиугольника длиннее и равна 1,44 Å. Посмотрим на этот многогранник повнимательнее с математической точки зрения.

Начнем с икосаэдра — правильного многогранника, состоящего из 20 треугольных граней, сходящихся по пять в каждой из 12 вершин. Представим, что он сделан из сыра и отрежем острым ножом каждую вершину. Полученный многогранник логично называть усеченным икосаэдром. Нетрудно заметить, что треугольные грани превратились в шестиугольные, а на месте каждой вершины появилась пятиугольная грань (рис. 1). Таким образом, если считать, что мы резали идеально ровно и все шестиугольные и пятиугольные грани получились одинаковыми, то мы получили правильный усеченный икосаэдр — это и есть «футбольный мяч» (только из сыра).

Рис. 1. Правильный икосаэдр и усеченный икосаэдр

Рис. 1. Правильный икосаэдр и усеченный икосаэдр. Рисунки с сайта ru.wikipedia.org

Как и правильный икосаэдр, так и полученный из него усеченный икосаэдр имеет икосаэдрическую группу симметрии: существует 120 разных движений трехмерного пространства (в данном случае это повороты и отражения), которые переводят в себя правильный усеченный икосаэдр. Фуллерены с такой группой симметрии называются многогранниками Гольдберга (см. Goldberg polyhedron). В силу своей симметричности они состоят из правильных пяти- и шестиугольников. Интересно, что среди фуллеренов-молекул есть и такие, у которых вообще нет симметрий (H. Yang et al., 2011. Fullerenes without symmetry: crystallographic characterization of C1(30)–C90 and C1(32)–C90).

Как мы доказали в задаче, в многограннике Гольдберга всегда 12 пятиугольников, поэтому можно задавать его расположением пятиугольников. А именно, будем ходить от одного пятиугольника до другого «ходом коня»: сначала на m шагов в одном направлении, затем поворот на 60° и еще n шагов. Оказывается, полученный такой странной процедурой многогранник GP(m, n) будет обладать икосаэдрической группой симметрии. Самый простой пример многогранника Гольдберга, GP(1, 0) — это додекаэдр (правильный многогранник, состоящий из 12 пятиугольников). На рис. 2 показаны многогранники Гольдберга для двух других значений параметров m и n: GP(1, 4), GP(7, 0). Кстати, количество шестиугольников в многограннике Гольдберга выражается через m и n: оно равно 10(m 2 + mn + n 2 − 1) (попробуйте это доказать!).

Рис. 2. Многогранники Гольдберга GP(1, 4), GP(7, 0)

Рис. 2. Многогранники Гольдберга GP(1, 4), GP(7, 0). Рисунки с сайта en.wikipedia.org

Встречаются фуллерены и с иными группами симметрий. Здесь нужно отметить, что математики любят исследовать объекты, обладающие симметриями: отчасти из-за того, что это обычно бывает проще и удобнее, а отчасти из-за того, что такие объекты нередки в природе и их удобно использовать при моделировании реальных процессов.

Упомянем и о другой связи додекаэдра с фуллеренами. Математики В. Бухштабер и Н. Ероховец в 2015 году показали, что каждый фуллерен комбинаторно эквивалентен (то есть мы разрешаем изменять длины ребер и величины углов, но не разрешаем изменять количества пятиугольников и шестиугольников, — и смотрим, какие многогранники можно такими преобразованиями получить друг из друга) многограннику, получаемому из додекаэдра при помощи последовательности специальных «усечений». Например, один из типов усечений выглядит так: нужно взять пару точек на сторонах существующей грани, соединить их отрезком и «сломать» эти стороны в выбранных точках (в указанной статье эта операция показана на рис. 6). В этой же статье показано, что не существует фуллеренов с одним шестиугольником, но зато существуют фуллерены с любым другим числов шестиугольников! Например, если шестиугольников нет совсем, то это додекаэдр. Попробуйте понять, как устроен фуллерен, содержащий ровно два шестиугольника (ответ можно найти всё в той же статье на рис. 20).

Читайте так же:
Монахи из Шаолиньского монастыря

Почему у привычного футбольного мяча шашечки двух типов: пятиугольные и шестиугольные?

Впрочем, обойтись можно и приблизительной. Хорошее приближение к сфере дают так называемые архимедовы тела, чьи грани имеют форму правильных многоугольников двух или более типов. Таких тел неограниченно много. Но так как технологически сшивать мяч из слишком мелких кусков трудно, пришлось число элементов ограничить и искать фигуру, которая при данном ограничении обеспечивала бы для заданного радиуса максимальный объем. Такому требованию удовлетворяет усеченный икосаэдр, состоящий из 20 правильных шестиугольников и 12 пятиугольников. Эту форму выбрали для футбольного мяча в 1970 году и использовали ее до 2006-го. Она получила название Telstar, поскольку отличается редкой телегеничностью. Telstar — хорошее приближение для сферы, но технологии развиваются, и сегодня уже пользуются другим мячом, составленным из «турбинок» и «пропеллеров».

Почему @ называют «собакой»?
Всем привычный значок @ не был известен в нашей стране до наступления компьютерной эры. Обычно при заимствовании названия из другого языка новое не изобретается, а просто копируется (так в русский язык пришли слова «почта» и «табак», а слова «водка» и «спутник» пересекли границу в обратном направлении). Но иногда исходное название может оказаться непроизносимым, неприличным или не соответствующим правилам языка. Видимо, это и произошло с символом @ — его официальное название «коммерческое эт» русскому уху кажется совершенно бессмысленным. Название должно быть таким, чтобы его хотелось запомнить и применять.
В 1990-е годы, когда значок @ впервые пытались перевести на русский, существовало множество равноправных вариантов — «кракозябра», «закорючка», «лягушка», «ухо» и другие. Правда, в настоящее время они практически исчезли, а «собака» распространилась по всему Рунету и осталась, потому что любой язык стремится иметь только одно универсальное слово для обозначения чего бы то ни было. Остальные названия остаются маргинальными, хотя их может быть очень много. Например, в английском языке символ @ называют не только словами commercial at, но и mercantile symbol, commercial symbol, scroll, arobase, each, about и т. д. Откуда взялась ассоциация между главным компьютерным значком и другом человека? Для многих символ @ действительно напоминает свернувшуюся калачиком собаку.
Существует экзотическая версия, что отрывистое произношение английского at может напомнить собачий лай. Однако гораздо более вероятная гипотеза связывает наш символ с очень старой компьютерной игрой Adventure. В ней нужно было путешествовать по лабиринту, сражаясь с разными малоприятными подземными тварями. Поскольку игра была текстовая, сам игрок, стены лабиринта, монстры и клады обозначались различными символами (скажем, стены были постоены из «!», «+» и «–»). Игрока в Adventure сопровождал пес, которого можно было посылать с разведывательными миссиями. Обозначался он символом @. Возможно, именно благодаря этой ныне забытой компьютерной игре в России укоренилось название «собака».
В современном мире знак @ присутствует повсюду, особенно с того момента, как он стал неотъемлемой частью адреса электронной почты. Но этот символ задолго до компьютерной эры входил в раскладку стандартной американской пишущей машинки, а компьютерным стал лишь потому, что сравнительно мало использовался. Значок @ применяется в коммерческих расчетах — в значении «по цене» (at the rate). Скажем, 10 галлонов масла по цене в 3,95 доллара США за галлон будет кратко записываться: 10 gal of oil @ $3.95/gal. В англоязычных странах символ применяется и в науке в значении «при»: например, плотность 1,050 г/см при 15 °C будет записана: 1.050 g/cm @ 15 °C. Кроме того, знак @ полюбили и часто используют анархисты ввиду его сходства с их символом — «А в круге».
Однако его изначальное происхождение окутано тайной. С точки зрения лингвиста Ульмана, символ @ был изобретен средневековыми монахами для сокращения латинского ad («на», «в», «в отношении» и так далее), что очень напоминает его нынешнее использование. Другое объяснение дает итальянский ученый Джорджо Стабиле — он обнаружил этот символ в записях флорентийского купца Франческо Лапи за 1536 год в значении «амфора»: например, цена одной @ вина. Интересно, что испанцы и португальцы называют символ в электронных письмах именно «амфорой» (arroba) — словом, которое французы, исказив, превратили в arobase. Впрочем, в разных странах существуют самые разные названия для символа @, чаще всего зоологические. Поляки называют его «обезьянкой», тайваньцы — «мышкой», греки — «уточкой», итальянцы и корейцы — «улиткой», венгры — «червячком», шведы и датчане — «слоновым хоботом», финны — «кошачьим хвостом» или «знаком мяу», а армяне, подобно нам, — «песиком». Есть гастрономические названия — «штрудель» в Израиле и «рольмопс» (сельдь под маринадом) в Чехии и Словакии. Кроме того, часто этот символ называют просто «скрюченным А», или «А с завитком», или, как сербы, «чокнутым А». Впрочем, самая удивительная из современных историй, связанных с символом @, произошла в Китае, где знак банально называется «А в круге». Несколько лет назад китайская пара дала такое имя новорожденному. Возможно, знак стали воспринимать как иероглиф, символизирующий технический прогресс, и решили, что он принесет счастье и успех юному обитателю Срединной державы.

Читайте так же:
Как добывают камни? Способы добычи, описание, фото и видео

Как появился джип?
Джипы очень популярны во всем мире. Сегодня многие автолюбители могут с гордостью называться владельцами «вездеходов», способных без труда преодолевать полуметровые препятствия и подниматься по 60-градусному склону.
Первоначально джипы служили нуждам армии для перевозки военных и значились как «машины общего назначения» — по-английски «general purpose vehicle». Из начальных букв первых двух слов и пошло слово «джип».
Своим рождением он обязан крайней необходимости американской армии создать относительно небольшой универсальный автомобиль, необходимый для разведки и перевозки солдат по бездорожью.
«Родителем» джипа стал Карл Пробст из Детройта, приглашенный компанией «Бэнтэм». Но случилось так, что чертежи нового автомобиля были у Пробста выкрадены и переданы конкурентам — компаниям «Виллис-Оверленд» и «Форд». Таким образом, первенцами военных джипов стали виллисовский «Квод» и фордовский «Пигми». После начала второй мировой войны стали осуществляться крупные поставки этих машин как армии США, так и союзным армиям. Всего их было выпущено около 700 тысяч.
С 45-го года «Виллис» начал выпуск гражданских джипов. Их скорость достигала 100 км/час. Завоевав всеобщее признание, в 1949 году компания выпустила усовершенствованную 6-цилиндровую модель мощностью 72 лошадиные силы и приводом на 4 колеса. Именно эта модель, вмещающая 7 пассажиров, и положила начало современному «джипостроению».

Почему у привычного футбольного мяча шашечки двух типов: пятиугольные и шестиугольные?

Поверхность классического футбольного мяча состоит из слегка искривлённых 12 правильных пятиугольников чёрного цвета и 20 правильных белых шестиугольников. Модель мяча можно представить следующим образом.

Из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников с равными сторонами можно сложить многогранник, называемый усечённым икосаэдром.

Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов $ varepsilonacuteiotakappa οsigmaiota $ — двадцать, $ acutevarepsilondeltamkern-1murho α $ — основание. У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 рёбер.

Читайте так же:
Почему нельзя смотреть в зеркало, когда плачешь? Причины, фото

«Отрежем» (отсечём) вершины икосаэдра, отступив от вершин вдоль прямых, направленных в центр, на столько, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками. Срезы будут правильными пятиугольниками. Получившаяся фигура и есть усечённый икосаэдр.

Усечённый икосаэдр — один из полуправильных многогранников. Так называются многогранники, у которых все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов (в отличие от правильных многогранников, все грани которых — одинаковые правильные многоугольники), а все вершины устроены «одинаково», т. е. многогранные углы при вершинах равны (совместимы).

При «наполнении воздухом» модели (усечённого икосаэдра) она принимает форму сферы, становится футбольным мячом. При этом вершины усечённого икосаэдра совпадут с «вершинами» мяча, рёбра перейдут в швы, а грани — в слегка искривлённые много­угольники на поверхности мяча. Таким образом получится мяч — центральная проекция усечённого икосаэдра на сферу.

Раздувание усечённого икосаэдра заставляет задуматься о степени близости к шару формы изначальной модели. Например, можно оценивать это сходство отношением радиусов концентрических сфер — описанной (проходящей через вершины; будущий мяч) и вписанной. Чем ближе это отношение к единице, тем совершеннее модель, тем ближе она к идеально круглому мячу.

А нельзя ли придумать модель мяча, состоящую из плоских кусков (панелей), но более совершенную, чем классическая? Можно было бы взять не усечённый икосаэдр, а многогранник с большим числом вершин, но это не устраняет принципиальный недостаток — выступающие над вписанной сферой «пирамидки» (вершины), мешающие модели стать сферой. К тому же процесс изготовления существенно усложняется.

Классический пятнистый мяч появился только в 1950 году. Он был официальным мячом на чемпионатах мира с 1970 до 2002 года. Затем наступило время экспериментов, а в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча, получившего название «Бразука».

Модель «Бразуки» совершеннее классической и при этом «является кубом»! Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, на ней выделяются восемь особых точек (вершин), в каждой из которых сходится по три панели.

На границе каждой панели есть четыре угла по $120°$. В вершинах модели встречаются три угла, сумма их величин равна $360°$, поэтому поверхность мяча вокруг вершины будет уплощённой, выступающей пирамидки не будет.

Панели можно склеивать по линиям границ между углами, поскольку длины этих линий одинаковы. Выпуклые участки границ склеиваются с вогнутыми, а линии подобраны так, что в каждой точке склейки кривизна выпуклого участка больше кривизны вогнутого. Из‐за этого плоские панели при склеивании изгибаются, образуя в результате замкнутую выпуклую поверхность. Возможность такой склейки гарантирует теорема А. Д. Александрова, академика и автора школьного учебника по геометрии.

В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. А в модели «Бразуки» она распределена более равномерно (по длинным рёбрам), и из‐за этого модель становится более близкой к сфере.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию